导数规则
导数规则与法则。函数导数表。
导数定义
函数的导数是函数值 f(x) 在点 x+Δx 和 x 之间的差值与 Δx 的比值，当 Δx 趋近于零时。导数是函数斜率或在点 x 的切线斜率。
二阶导数
二阶导数由以下给出：
或者简单地对一阶导数进行导数：
第 n 次导数
第 n 次导数通过对 f(x) 进行 n 次求导得到。
第 n 次导数等于 (n-1) 次导数的导数：
f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'
例子：
求解以下函数的四阶导数
f (x) = 2x5
f (4)(x) = [2x5]'''' = [10x4]''' = [40x3]'' = [120x2]' = 240x
函数图上的导数
函数的导数是切线的斜率。
导数规则
| 导数求和规则 |
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x) |
| 导数乘积规则 |
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x) |
| 导数商规则 |
|
| 导数链式法则 |
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x) |
导数求和规则
当 a 和 b 为常数时。
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
例子：
求解：
3x2 + 4x.
根据求和规则：
a = 3, b = 4
f(x) = x2 , g(x) = x
f ' (x) = 2x , g' (x) = 1
(3x2 + 4x)' = 3⋅2x+4⋅1 = 6x + 4
导数乘积规则
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
导数商规则
导数链式法则
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)
该规则可以用拉格朗日符号更好地理解：
函数的线性近似
对于小的 Δx，我们可以得到对 f(x0+Δx) 的近似，当我们知道 f(x0) 和 f'(x0) 时：
f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx
函数导数表
| 函数名称 | 函数 | 导数 |
|---|---|---|
|
f (x) |
f '(x) | |
| 常数 |
const |
0 |
| 线性 |
x |
1 |
| 幂函数 |
x a |
a x a-1 |
| 指数函数 |
e x |
e x |
| 指数函数 |
a x |
a x ln a |
| 自然对数 |
ln(x) |
|
| 对数函数 |
logb(x) |
|
| 正弦函数 |
sin x |
cos x |
| 余弦函数 |
cos x |
-sin x |
| 正切函数 |
tan x |
|
| 反正弦函数 |
arcsin x |
|
| 反余弦函数 |
arccos x |
|
| 反正切函数 |
arctan x |
|
| 双曲正弦函数 |
sinh x |
cosh x |
| 双曲余弦函数 |
cosh x |
sinh x |
| 双曲正切函数 |
tanh x |
|
| 反双曲正弦函数 |
sinh-1 x |
|
| 反双曲余弦函数 |
cosh-1 x |
|
| 反双曲正切函数 |
tanh-1 x |
|
导数示例
示例 #1
f (x) = x3+5x2+x+8
f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1
示例 #2
f (x) = sin(3x2)
应用链式法则时：
f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x
二阶导数检验
当函数的一阶导数在点 x0 处为零时。
f '(x0) = 0
那么点 x0 处的二阶导数，f''(x0)，可以表示该点的类型：
|
f ''(x0) > 0 |
局部极小值 |
|
f ''(x0) < 0 |
局部极大值 |
|
f ''(x0) = 0 |
不确定 |