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积分

积分是导数的逆运算。

函数的积分是函数图形下方的面积。

不定积分定义

当

不定积分属性

$积分(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c$

$积分(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c$

$积分(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c$

积分变量的变化

当 $x = g(t)$ 和 $dx = g'(t)*dt$

$积分(f(x)*dx) = 积分(f(g(t))*g'(t)*dt)$

分部积分

$积分(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - 积分(f'(x)*g(x)*dx)$

积分表

$integral(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c$

定积分定义

$integral(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))$

当 $x0=a, xn=b$

$dx(k) = x(k) - x(k-1)$

$x(k-1) <= z(k) <=x(k)$

定积分计算

当 ,

$dF(x)/dx = f(x)$ 和

$integral(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)$

定积分性质

$abs( integral(a..b, f(x)*dx) ) <= integral(a..b, abs(f(x))*dx)$

$min(f(x))*(b-a) <= integral(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(b-a)$ 当 $x member of [a,b]$

积分变量的变化

当 $x = g(t)$ , $dx = g'(t)*dt$ , $g(alpha) = a$ , $g(beta) = b$

$integral(a..b, f(x)*dx) = integral(alpha..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)$

按部分集成

$integral(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = integral(a..b, f(x)*g(x)*dx) - integral(a..b, f'(x)*g(x)*dx)$

中值定理

当 f(x) 是连续的，有一个点 $c is member of [a,b]$ so

$integral(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(b-a)$

定积分的梯形逼近

$integral(a..b, f(x)*dx) ~ (b-a)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +...+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)$

Gamma函数

$gamma(x) = integral(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt$

Gamma函数收敛于 x>0.

Gamma函数属性

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , 当 n $is member of$ ℕ (正整数).

Beta函数

$B(x,y) = integral(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt$

贝塔函数与伽玛函数的关系

$B(x,y) = Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)$

微积分

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