e 常数

e 常数 或 欧拉数 是一个数学常数。e 常数是真实且无理数。

e = 2.718281828459...

e 的定义
e 的性质
以 e 为底的对数
指数函数
欧拉公式

e 的定义

e 常数被定义为极限:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...$

其他定义

e 常数被定义为极限:

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

e 常数被定义为无限级数:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$

e 的性质

e 的倒数

e 的倒数为极限:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

e 的导数

指数函数的导数是指数函数:

(e^x)' = e^x

自然对数函数的导数是倒数函数:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

e 的积分

指数函数 e^x 的不定积分是指数函数 e^x。

∫ e^xdx = e^x+c

自然对数函数 log_ex 的不定积分为:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

从1到e 的倒数函数 1/x 的定积分为 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

以 e 为底的对数

一个数 x 的自然对数被定义为以 e 为底的对数:

ln x = log_ex

指数函数

指数函数被定义为:

f (x) = exp(x) = e^x

欧拉公式

复数 e^iθ 具有如下恒等式:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i 是虚数单位 (负1的平方根)。

θ 是任意实数。