自然对数是一个数的以 e 为底的对数。
当
e y = x
时,x 的底为 e 的对数是
ln(x) = loge(x) = y
e常数 或欧拉数是:
e ≈ 2.71828183
自然对数函数 ln(x) 是指数函数 ex 的反函数。
对于 x>0,
f (f -1(x)) = eln(x) = x
或者
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
规则名称 | 规则 | 示例 |
---|---|---|
乘积规则 |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
商规则 |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
幂规则 |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
ln 的导数 |
f (x) = ln(x) ⇒ f ' (x) = 1 / x | |
ln 的积分 |
∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C | |
负数的 ln |
ln(x) 当 x ≤ 0时未定义 | |
零的 ln |
ln(0) 未定义 | |
1 的 ln |
ln(1) = 0 | |
无穷大的 ln |
lim ln(x) = ∞ ,当 x→∞ | |
欧拉恒等式 | ln(-1) = iπ |
乘积 x 和 y 的对数是 x 和 y 的对数的和。
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
例如:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
除法 x 和 y 的对数是 x 和 y 的对数的差。
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
例如:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
数 x 的幂 y 的对数是 y 乘以 x 的对数。
logb(x y) = y ∙ logb(x)
例如:
log10(28) = 8∙ log10(2)
自然对数函数的导数是倒数函数。
当
f (x) = ln(x)
时,f(x) 的导数是:
f ' (x) = 1 / x
自然对数函数的积分由以下给出:
当
f (x) = ln(x)
时,f(x) 的积分是:
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
零的自然对数是未定义的:
ln(0) 未定义
当 x 接近零时,自然对数 x 的极限是负无穷:
一的自然对数是零:
ln(1) = 0
当 x 趋向无穷大时,自然对数的极限是无穷大:
lim ln(x) = ∞, 当 x→∞
对于复数 z:
z = reiθ = x + iy
复对数对数将会是 (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
对于实数非正的 x,ln(x) 未定义:
𝑥 | ln 𝑥 |
---|---|
0 | 未定义 |
0+ | - ∞ |
0.0001 | -9.210340 |
0.001 | -6.907755 |
0.01 | -4.605170 |
0.1 | -2.302585 |
1 | 0 |
2 | 0.693147 |
e ≈ 2.7183 | 1 |
3 | 1.098612 |
4 | 1.386294 |
5 | 1.609438 |
6 | 1.791759 |
7 | 1.945910 |
8 | 2.079442 |
9 | 2.197225 |
10 | 2.302585 |
20 | 2.995732 |
30 | 3.401197 |
40 | 3.688879 |
50 | 3.912023 |
60 | 4.094345 |
70 | 4.248495 |
80 | 4.382027 |
90 | 4.499810 |
100 | 4.605170 |
200 | 5.298317 |
300 | 5.703782 |
400 | 5.991465 |
500 | 6.214608 |
600 | 6.396930 |
700 | 6.551080 |
800 | 6.684612 |
900 | 6.802395 |
1000 | 6.907755 |
10000 | 9.210340 |
我们所有内容来源于rapidtables.com,遗憾于其没有中文版本,因此建立中文版供网民使用,所有内容版权属于rapidtables.