自然对数 - ln(x)

自然对数是一个数的以 e 为底的对数。

自然对数定义

e y = x

时,x 的底为 e 的对数是

ln(x) = loge(x) = y

 

e常数 或欧拉数是:

e ≈ 2.71828183

Ln 作为指数函数的反函数

自然对数函数 ln(x) 是指数函数 ex 的反函数。

对于 x>0,

f (f -1(x)) = eln(x) = x

或者

f -1(f (x)) = ln(ex) = x

自然对数规则与性质

规则名称 规则 示例
乘积规则

ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)

ln(37) = ln(3) + ln(7)

商规则

ln(x / y) = ln(x) - ln(y)

ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)

幂规则

ln(x y) = y ∙ ln(x)

ln(28) = 8ln(2)

ln 的导数
f (x) = ln(x) f ' (x) = 1 / x  
ln 的积分
ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C  
负数的 ln
ln(x) x ≤ 0时未定义  
零的 ln
ln(0) 未定义  
 
1 的 ln
ln(1) = 0  
无穷大的 ln
lim ln(x) = ∞ , x→∞  
欧拉恒等式 ln(-1) = iπ  

 

对数乘积规则

乘积 x 和 y 的对数是 x 和 y 的对数的和。

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

例如:

log10(37) = log10(3) + log10(7)

对数商规则

除法 x 和 y 的对数是 x 和 y 的对数的差。

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

例如:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

对数幂规则

数 x 的幂 y 的对数是 y 乘以 x 的对数。

logb(x y) = y ∙ logb(x)

例如:

log10(28) = 8log10(2)

自然对数的导数

自然对数函数的导数是倒数函数。

f (x) = ln(x)

时,f(x) 的导数是:

f ' (x) = 1 / x

自然对数的积分

自然对数函数的积分由以下给出:

f (x) = ln(x)

时,f(x) 的积分是:

f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

0 的 ln

零的自然对数是未定义的:

ln(0) 未定义

当 x 接近零时,自然对数 x 的极限是负无穷:

1 的 ln

一的自然对数是零:

ln(1) = 0

无穷大的 ln

当 x 趋向无穷大时,自然对数的极限是无穷大:

lim ln(x) = ∞, x→∞

复对数对数

对于复数 z:

z = re = x + iy

复对数对数将会是 (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

ln(x) 的图像

对于实数非正的 x,ln(x) 未定义:

自然对数表

𝑥 ln 𝑥
0 未定义
0+ - ∞
0.0001 -9.210340
0.001 -6.907755
0.01 -4.605170
0.1 -2.302585
1 0
2 0.693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

对数规则 ►

 


另请参阅

代数

 

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