对数规则和性质

对数规则和性质：

 

规则名称	规则
对数乘积规则	logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
对数商规则	logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
对数幂规则	logb(x y) = y ∙ logb(x)
对数底换规则	logb(c) = 1 / logc(b)
对数底变换规则	logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数的导数	f (x) = logb(x) ⇒ f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
对数的积分	∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
0 的对数	logb(0) 未定义
1 的对数	logb(1) = 0
底数的对数	logb(b) = 1
无穷的对数	lim logb(x) = ∞, 当 x→∞

对数乘积规则

x 和 y 的乘积的对数是 x 的对数和 y 的对数的和。

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

例如：

log_b(3 ∙ 7) = log_b(3) + log_b(7)

乘积规则可以用加法运算来快速进行乘法计算。

x 乘以 y 的乘积是 log_b(x) 和 log_b(y) 的和的逆对数：

x ∙ y = log^-1(log_b(x) + log_b(y))

对数商规则

x 和 y 的除法的对数是 x 的对数和 y 的对数的差。

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

例如：

log_b(3 / 7) = log_b(3) - log_b(7)

商规则可以用减法运算来快速进行除法计算。

x 除以 y 的商是 log_b(x) 和 log_b(y) 的差的逆对数：

x / y = log^-1(log_b(x) - log_b(y))

对数幂规则

x 的 y 次幂的对数是 y 乘以 x 的对数。

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

例如：

log_b(2⁸) = 8 ∙ log_b(2)

幂规则可以用乘法运算来快速进行指数计算。

x 的 y 次幂等于 y 和 log_b(x) 乘积的逆对数：

x ^y = log^-1(y ∙ log_b(x))

对数底换规则

底数 b 的 c 的对数是 1 除以底数 c 的 b 的对数。

log_b(c) = 1 / log_c(b)

例如：

log₂(8) = 1 / log₈(2)

对数底变换规则

底数 b 的 x 的对数是底数 c 的 x 的对数除以底数 c 的 b 的对数。

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

0 的对数

底数 b 的零的对数未定义：

log_b(0) 未定义

接近 0 的极限是负无穷：

1 的对数

底数 b 的 1 的对数是零：

log_b(1) = 0

例如：

log₂(1) = 0

底数的对数

底数 b 的 b 的对数是一：

log_b(b) = 1

例如：

log₂(2) = 1

对数的导数

当

f (x) = log_b(x)

那么 f(x) 的导数：

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

例如：

当

f (x) = log₂(x)

那么 f(x) 的导数：

f ' (x) = 1 / ( x ln(2) )

对数的积分

x 的对数的积分：

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

例如：

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

对数近似

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

 

0 的对数 ►

 

---

另请参见

• 对数计算器
• 什么是对数?
• log(x) 图
• 自然对数计算器
• 自然对数
• e常数
• 分贝 (dB)