概率分布

在概率论和统计学中，分布是随机变量的特征，描述了每个值的随机变量的概率。

每个分布都有一个确定的概率密度函数和概率分布函数。

虽然概率分布有无限多种，但常用的几种分布是：

概率分布由累积分布函数 F(x) 描述，

这是随机变量 X 取得小于或等于 x 的值的概率：

F(x) = P(X ≤ x)

累积分布函数 F(x) 是连续随机变量 X 的概率密度函数 f(u) 的积分计算而得。

累积分布函数 F(x) 是离散随机变量 X 的概率质量函数 P(u) 的求和计算而得。

连续分布是连续随机变量的分布。

...

分布名称	分布符号	概率密度函数（pdf）	均值	方差
		f_X(x)	μ = E(X)	σ² = Var(X)
正态分布	X ~ N(μ,σ²)	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	μ	σ²
均匀分布	X ~ U(a,b)	$\begin{Bmatrix}\frac{1}{b-a} & ,a\leq x\leq b\\ & \\0 & ,otherwise\end{matrix}$		$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	X ~ exp(λ)	$\begin{Bmatrix}\lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0\end{matrix}$	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ^2}$
伽马分布	X ~ gamma(c, λ)	$\frac{\lambda ^c x^{c-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (c)}$ x > 0, c > 0, λ > 0	$\frac{c}{\lambda }$	$\frac{c}{\lambda ^2}$
卡方分布	X ~ χ²(k)	$\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}$	k	2k
Wishart分布
F分布	X ~ F (k₁, k₂)
贝塔分布
威布尔分布
对数正态分布	X ~ LN(μ,σ²)
瑞利分布
柯西分布
狄利克雷分布
拉普拉斯分布
莱维分布
赖斯分布
学生t分布

离散分布是离散随机变量的分布。

...

分布名称	分布符号	概率质量函数 (pmf)		均值	方差
		f_x(k) = P(X=k) k = 0,1,2,...		E(x)	Var(x)
二项分布	X ~ Bin(n,p)	$\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$		np	np(1-p)
泊松分布	X ~ Poisson(λ)		λ ≥ 0	λ	λ
均匀分布	X ~ U(a,b)	$\begin{Bmatrix}\frac{1}{b-a+1} & ,a\leq k\leq b\\ & \\0 & ,otherwise\end{matrix}$		$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a+1)^{2}-1}{12}$
几何分布	X ~ Geom(p)	$p(1-p)^{k}$		$\frac{1-p}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
超几何分布	X ~ HG(N,K,n)		N = 0,1,2,... K = 0,1,..,N n = 0,1,...,N	$\frac{nK}{N}$	$\frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)}$
伯努利分布	X ~ Bern(p)	$\begin{Bmatrix}(1-p) & ,k=0\\ p & ,k=1\\ 0 & ,otherwise\end{matrix}$		p	p(1-p)

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