标准差

在概率与统计中，随机变量的标准差是随机变量与均值的平均距离。

它表示随机变量如何分布在均值附近。标准差小表示随机变量分布在靠近均值的地方。标准差大表示随机变量分布在远离均值的地方。

标准差是随机变量X的方差的平方根，均值为μ。

$\sigma =std(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{E(( X-\mu)^2}$

从标准差的定义我们可以得到

$\sigma =std(X)=\sqrt{E( X^2 )-\mu^2}$

对于均值为μ且概率密度函数为f(x)的连续随机变量：

$\sigma=std(X)=\sqrt{\int_{-\infty }^{\infty }(x-\mu)^2\: f(x)dx}$

或

$\sigma =std(X)=\sqrt{\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x^2\: f(x)dx \right ]-\mu^2}$

对于均值为μ且概率质量函数为P(x)的离散随机变量X：

$\sigma=std(X)=\sqrt{\sum_{i}^{}(x_i-\mu _X)^2P_X(x_i)}$

或

$\sigma =std(X)=\sqrt{\left [ \sum_{i}^{}x_i^2P(x_i) \right ]-\mu^2}$

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