对数规则

一个数的底数 b 的对数是我们需要将底数提高到某个指数才能得到该数。

• 对数定义
• 对数规则
• 对数问题
• 复对数
• 对数图表
• 对数表
• 对数计算器

对数定义

当 b 的 y 次方等于 x 时：

b ^y = x

那么 x 的底数 b 对数等于 y：

log_b(x) = y

例如：

2⁴ = 16

则

log₂(16) = 4

对数作为指数函数的反函数

对数函数，

y = log_b(x)

是指数函数的反函数，

x = b^y

因此，如果我们计算 x 的对数的指数函数（x>0），

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

或者如果我们计算 x 的指数函数的对数，

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

自然对数（ln）

自然对数 是以 e 为底数的对数：

ln(x) = log_e(x)

当 e常数 是这个数时：

或者

 

参见：自然对数

对数的反函数计算

反对数（或反对数）通过将底数 b 提高到对数 y 来计算：

x = log^-1(y) = b ^y

对数函数

对数函数的基本形式为：

f (x) = log_b(x)

对数规则

规则名称	规则
对数乘积法则	logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
对数商法则	logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
对数幂法则	logb(x y) = y ∙ logb(x)
对数底数转换法则	logb(c) = 1 / logc(b)
对数底数更换法则	logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数的导数	f (x) = logb(x) ⇒ f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
对数的积分	∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
负数的对数	logb(x) 当 x≤ 0 时未定义
0的对数	logb(0) 未定义
1的对数	logb(1) = 0
底数的对数	logb(b) = 1
无穷大的对数	lim logb(x) = ∞,当 x→∞

参见：对数规则

 

对数乘积法则

两个数的乘积的对数是这两个数的对数之和。

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

例如：

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

对数商法则

两个数的商的对数是这两个数的对数之差。

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

例如：

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

对数幂法则

一个数的指数次幂的对数是这个数的对数乘以指数。

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

例如：

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

对数底数转换法则

底数 b 的 c 对数是 1 除以底数 c 的 b 对数。

log_b(c) = 1 / log_c(b)

例如：

log₂(8) = 1 / log₈(2)

对数底变换规则

对数 b 的 x 是对数 c 的 x 除以对数 c 的 b。

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

例如，为了计算对数 2 的 8 在计算器中，我们需要将底变换为 10：

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

查看：对数底变换规则

负数的对数

当 x ≤ 0 时，对数 b 的 x 是未定义的，其中 x 为负数或等于零：

log_b(x) 当 x ≤ 0

查看：负数的对数

0 的对数

对数 b 的零是未定义的：

log_b(0) 是未定义的

当 x 接近零时，对数 b 的 x 的极限是负无穷：

查看：零的对数

1 的对数

对数 b 的一是零：

log_b(1) = 0

例如，对数二的一是零：

log₂(1) = 0

查看：一的对数

无穷的对数

当 x 接近无穷时，对数 b 的 x 的极限等于无穷：

lim log_b(x) = ∞, 当 x→∞

查看：无穷的对数

底的对数

对数 b 的 b 是一：

log_b(b) = 1

例如，对数二的二是一：

log₂(2) = 1

对数导数

当

f (x) = log_b(x)

则 f(x) 的导数为：

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

查看：对数导数

对数积分

对数 x 的积分：

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

例如：

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

对数近似

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

复数对数

对于复数 z：

z = re^iθ = x + iy

复数对数为 (n = ...-2,-1,0,1,2,...)：

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

对数问题和答案

问题 #1

找到 x 使得

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

解：

使用乘法规则：

log₂(x∙(x-3)) = 2

根据对数定义改变对数形式：

x∙(x-3) = 2²

或

x²-3x-4 = 0

解二次方程：

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

因为对于负数，对数未定义，所以答案是：

x = 4

问题 #2

找到 x 使得

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

解：

使用商规则：

log₃((x+2) / x) = 2

根据对数定义改变对数形式：

(x+2)/x = 3²

或

x+2 = 9x

或

8x = 2

或

x = 0.25

log(x) 的图像

对于实数非正值的 x，log(x) 是未定义的：

对数表

x	log10x	log2x	logex
0	未定义	未定义	未定义
0+	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

对数计算器 ►

 

---

另见

• 对数规则
• 对数底数变换
• 零的对数
• 一的对数
• 无穷大的对数
• 负数的对数
• 对数计算器
• 对数图
• 对数表
• 自然对数计算器
• 自然对数 - ln x
• e常数
• 分贝（dB）