对数换底规则

为了将底数从 b 转换为 c，我们可以使用对数换底规则。底数为 b 的 x 的对数等于底数为 c 的 x 的对数除以底数为 c 的 b 的对数：

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386

log₃(50) = log₈(50) / log₈(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766

将 b 提升到底 b 的 x 的对数次幂得到 x：

(1) x = b^logb^(x)

将 c 提升到底 c 的 b 的对数次幂得到 b：

(2) b = c^logc^(b)

当我们取 (1) 并用 (2) 中的 c^logc^(b) 代替 b 时，我们得到：

(3) x = b^logb^(x) = (c^logc^(b))^logb^(x) = c^logc^(b)×logb^(x)

通过在 (3) 的两边应用 log_c()：

log_c(x) = log_c(c^logc^(b)×logb^(x))

log_c(x) = [log_c(b)×log_b(x)] × log_c(c)

由于 log_c(c)=1

log_c(x) = log_c(b)×log_b(x)

或者

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

另见